تمرین ۱ حل حدهای مبهم (گویا و رادیکالی) حسابان یازدهم
مقدار حدهای زیر را بیابید.
الف) $\lim_{x \to -۱} \frac{۲x^۲ + x - ۱}{۳x^۲ + ۴x + ۱}$
ب) $\lim_{x \to ۲^+} \frac{x^۲[x] - ۸}{x^۲ - ۴}$
پ) $\lim_{x \to ۲} \frac{\sqrt{x + ۲} - ۲}{x^۲ - ۴}$
ت) $\lim_{x \to ۳} \frac{۲ - \sqrt{x}}{۳ - \sqrt{۲x + ۱}}$
ث) $\lim_{x \to ۰} \frac{\sqrt{۱ + x} - \sqrt{۱ - x}}{x^۲ + x}$
ج) $\lim_{x \to ۱} \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - ۱}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۴۴ حسابان یازدهم
سلام! برای حل این حدها، ابتدا ابهام $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ را بررسی کرده و سپس با استفاده از **تجزیه** یا **همیوغ (مزدوج)**، آن را رفع میکنیم. 💡
---
### الف) $\lim_{x \to -۱} \frac{۲x^۲ + x - ۱}{۳x^۲ + ۴x + ۱}$
**۱. بررسی ابهام**: صورت و مخرج به ازای $x=-۱$ صفر میشوند ($\frac{۰}{۰}$).
**۲. تجزیه**:
* **صورت**: ریشهها $x=-۱$ و $x=\frac{۱}{۲}$. $۲x^۲ + x - ۱ = (x + ۱)(۲x - ۱)$
* **مخرج**: ریشهها $x=-۱$ و $x=-\frac{۱}{۳}$. $۳x^۲ + ۴x + ۱ = (x + ۱)(۳x + ۱)$
$$\lim_{x \to -۱} \frac{(x + ۱)(۲x - ۱)}{(x + ۱)(۳x + ۱)} = \lim_{x \to -۱} \frac{۲x - ۱}{۳x + ۱} = \frac{۲(-۱) - ۱}{۳(-۱) + ۱} = \frac{-۳}{-۲} = \mathbf{\frac{۳}{۲}}$$
---
### ب) $\lim_{x \to ۲^+} \frac{x^۲[x] - ۸}{x^۲ - ۴}$
**۱. سادهسازی جزء صحیح**: وقتی $x \to ۲^+$, $\mathbf{[x] = ۲}$ است.
$$\lim_{x \to ۲^+} \frac{x^۲(۲) - ۸}{x^۲ - ۴} = \lim_{x \to ۲^+} \frac{۲x^۲ - ۸}{x^۲ - ۴}$$
**۲. تجزیه**: ابهام $\frac{۰}{۰}$.
$$\lim_{x \to ۲^+} \frac{۲(x^۲ - ۴)}{x^۲ - ۴} = \lim_{x \to ۲^+} \mathbf{۲} = \mathbf{۲}$$
---
### پ) $\lim_{x \to ۲} \frac{\sqrt{x + ۲} - ۲}{x^۲ - ۴}$
**۱. رفع ابهام (همیوغ)**: $\frac{۰}{۰}$. صورت و مخرج را در $\mathbf{\sqrt{x + ۲} + ۲}$ ضرب میکنیم.
$$L = \lim_{x \to ۲} \frac{(x + ۲) - ۴}{(x^۲ - ۴)(\sqrt{x + ۲} + ۲)} = \lim_{x \to ۲} \frac{x - ۲}{(x - ۲)(x + ۲)(\sqrt{x + ۲} + ۲)}$$
**۲. حذف و جایگذاری**:
$$L = \lim_{x \to ۲} \frac{۱}{(x + ۲)(\sqrt{x + ۲} + ۲)} = \frac{۱}{(۲ + ۲)(\sqrt{۴} + ۲)} = \frac{۱}{۴ \cdot (۲ + ۲)} = \frac{۱}{۱۶}$$
---
### ت) $\lim_{x \to ۳} \frac{۲ - \sqrt{x}}{۳ - \sqrt{۲x + ۱}}$
**۱. رفع ابهام (دو مزدوج)**: $\frac{۰}{۰}$. صورت را در $\mathbf{۲ + \sqrt{x}}$ و مخرج را در $\mathbf{۳ + \sqrt{۲x + ۱}}$ ضرب میکنیم.
$$L = \lim_{x \to ۳} \frac{(۴ - x)(۳ + \sqrt{۲x + ۱})}{((۹) - (۲x + ۱))(۲ + \sqrt{x})} = \lim_{x \to ۳} \frac{(۴ - x)(۳ + \sqrt{۲x + ۱})}{(۸ - ۲x)(۲ + \sqrt{x})}$$
**۲. تجزیه مخرج**: $۸ - ۲x = -۲(x - ۴)$.
**اشتباه در صورت سوال**: اگر مخرج را $۳ - \sqrt{۲x+۳}$ در نظر بگیریم، صفر میشود.
فرض میکنیم $\mathbf{\lim_{x \to 4} \frac{۲ - \sqrt{x}}{۳ - \sqrt{۲x + 1}}}$ بوده است. این حد هم $\mathbf{\frac{۰}{۰}}$ است.
**حل بر اساس فرض $athbf{x \to 4}$**:
$$L = \lim_{x \to 4} \frac{(۴ - x)(۳ + \sqrt{۲x + ۱})}{(۹ - (۲x + ۱))(۲ + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 4} \frac{-(x - ۴)(۳ + \sqrt{۲x + ۱})}{(-۲x + ۸)(۲ + \sqrt{x})}$$
$$L = \lim_{x \to 4} \frac{-(x - ۴)(۳ + \sqrt{۲x + ۱})}{-۲(x - ۴)(۲ + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 4} \frac{-(۳ + \sqrt{۲x + ۱})}{-۲(۲ + \sqrt{x})}$$
$$L = \frac{-(۳ + \sqrt{۸ + ۱})}{-۲(۲ + \sqrt{۴})} = \frac{-(۳ + ۳)}{-۲(۴)} = \frac{-۶}{-۸} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$$
---
### ث) $\lim_{x \to ۰} \frac{\sqrt{۱ + x} - \sqrt{۱ - x}}{x^۲ + x}$
**۱. رفع ابهام (همیوغ)**: $\frac{۰}{۰}$. صورت و مخرج را در $\mathbf{\sqrt{۱ + x} + \sqrt{۱ - x}}$ ضرب میکنیم.
$$L = \lim_{x \to ۰} \frac{(۱ + x) - (۱ - x)}{x(x + ۱)(\sqrt{۱ + x} + \sqrt{۱ - x})} = \lim_{x \to ۰} \frac{۲x}{x(x + ۱)(\sqrt{۱ + x} + \sqrt{۱ - x})}$$
**۲. حذف و جایگذاری**:
$$L = \lim_{x \to ۰} \frac{۲}{(x + ۱)(\sqrt{۱ + x} + \sqrt{۱ - x})} = \frac{۲}{(۰ + ۱)(\sqrt{۱} + \sqrt{۱})} = \frac{۲}{۱(۲)} = \mathbf{۱}$$
---
### ج) $\lim_{x \to ۱} \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - ۱}$
**۱. رفع ابهام (تجزیه)**: $\frac{۰}{۰}$. $x - \sqrt{x}$ را به صورت $\sqrt{x}(\sqrt{x} - ۱)$ تجزیه میکنیم.
$$L = \lim_{x \to ۱} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - ۱)}{\sqrt{x} - ۱} = \lim_{x \to ۱} \sqrt{x} = \mathbf{۱}$$
تمرین ۲ حد ضرب توابع حسابان یازدهم
اگر $f(x) = \frac{x + ۱}{۲x^۲ - x - ۱}$ و $g(x) = \frac{۲x + ۱}{x}$، حاصل $\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} f(x)g(x)$ را بیابید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۴۴ حسابان یازدهم
سلام! برای حل حد حاصلضرب توابع، ابتدا باید حد هر جزء را به صورت جداگانه بررسی کنیم. 🧠
---
### گام اول: بررسی حد $f(x)$ در $x = -\frac{۱}{۲}$
**۱. بررسی ابهام**:
* **صورت**: $\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} (x + ۱) = -\frac{۱}{۲} + ۱ = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$
* **مخرج**: $\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} (۲x^۲ - x - ۱) = ۲(-\frac{۱}{۲})^۲ - (-\frac{۱}{۲}) - ۱ = ۲(\frac{۱}{۴}) + \frac{۱}{۲} - ۱ = \frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۲} - ۱ = \mathbf{۰}$
**۲. نتیجه**: حد $f(x)$ به صورت $\frac{\frac{۱}{۲}}{۰}$ است. این حد **عددی نامحدود** است (مجاب عمودی).
### گام دوم: بررسی حد $g(x)$ در $x = -\frac{۱}{۲}$
**۱. بررسی ابهام**:
* **صورت**: $\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} (۲x + ۱) = ۲(-\frac{۱}{۲}) + ۱ = -۱ + ۱ = \mathbf{۰}$
* **مخرج**: $\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} x = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$
**۲. نتیجه**: حد $g(x)$ برابر $\mathbf{\frac{۰}{-\frac{۱}{۲}} = ۰}$ است.
### گام سوم: محاسبه حد حاصلضرب (حد نوع $۰ \cdot \infty$)
چون حد $f(x)$ ناموجود و $\lim g(x)=۰$ است، از قانون حد ضرب استفاده نمیشود. باید ابتدا $athbf{f(x)g(x)}$ را ساده کنیم.
$$\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} f(x)g(x) = \lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} \left(\frac{x + ۱}{۲x^۲ - x - ۱} \cdot \frac{۲x + ۱}{x}\right)$$
**۱. تجزیه مخرج $f(x)$**:
$$۲x^۲ - x - ۱ = (x - ۱)(۲x + ۱)$$
**۲. سادهسازی**:
$$\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} \frac{(x + ۱)}{(x - ۱)(۲x + ۱)} \cdot \frac{(۲x + ۱)}{x} = \lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} \frac{(x + ۱)}{(x - ۱)x}$$
**۳. جایگذاری مستقیم**:
$$\lim_{x \to -\frac{۱}{۲}} \frac{x + ۱}{x^۲ - x} = \frac{-\frac{۱}{۲} + ۱}{(-\frac{۱}{۲})^۲ - (-\frac{۱}{۲})} = \frac{\frac{۱}{۲}}{\frac{۱}{۴} + \frac{۱}{۲}} = \frac{\frac{۱}{۲}}{\frac{۳}{۴}}$$
$$\frac{۱}{۲} \times \frac{۴}{۳} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$$
تمرین ۳ حل حدهای مبهم مثلثاتی حسابان یازدهم
مقدار حدهای زیر را بیابید.
الف) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{۱ - \sin x}{\cos x}$
ب) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۴}} \frac{\cos(x + \frac{\pi}{۴})}{\cos x - \sin x}$
پ) $\lim_{x \to ۰} \frac{x^۲}{|۱ - \cos x|}$
ت) $\lim_{x \to ۰} \frac{۲ - ۲\cos ۲x}{x \sin x}$
ث) $\lim_{x \to -\pi} \frac{\cos x + ۱}{x + \pi}$
ج) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a}$
چ) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{۲})}{۶x - ۳\pi}$
ح) $\lim_{x \to ۱} \frac{۲x - \sqrt{۳x + ۱}}{x - ۱}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۴۴ حسابان یازدهم
سلام! برای حل حدهای مبهم مثلثاتی، از **قوانین مثلثاتی**، **همیوغ** و **تغییر متغیر** استفاده میکنیم. 📐
---
### الف) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{۱ - \sin x}{\cos x}$
**۱. رفع ابهام (همیوغ)**: $\frac{۰}{۰}$. صورت و مخرج را در $\mathbf{۱ + \sin x}$ ضرب میکنیم.
$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{۱ - \sin^۲ x}{\cos x (۱ + \sin x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{\cos^۲ x}{\cos x (۱ + \sin x)}$$
**۲. حذف و جایگذاری**:
$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{\cos x}{۱ + \sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{۲})}{۱ + \sin(\frac{\pi}{۲})} = \frac{۰}{۱ + ۱} = \mathbf{۰}$$
---
### ب) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۴}} \frac{\cos(x + \frac{\pi}{۴})}{\cos x - \sin x}$
**۱. رفع ابهام (قانون جمع)**: $\frac{۰}{۰}$. صورت را باز میکنیم: $\cos(x + \frac{\pi}{۴}) = \cos x \cos \frac{\pi}{۴} - \sin x \sin \frac{\pi}{۴} = \frac{\sqrt{۲}}{۲} (\cos x - \sin x)$.
$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{۴}} \frac{\frac{\sqrt{۲}}{۲} (\cos x - \sin x)}{\cos x - \sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{۴}} \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$$
**۲. محاسبه**:
$$L = \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$$
---
### پ) $\lim_{x \to ۰^-} \frac{x^۲}{|۱ - \cos x|}$
**۱. سادهسازی قدر مطلق**: $\lim_{x \to ۰} (۱ - \cos x) = ۰$. چون $\mathbf{۰ < \cos x \le ۱}$ در همسایگی محذوف ۰، پس $\mathbf{۱ - \cos x \ge ۰}$. بنابراین $\mathbf{|۱ - \cos x| = ۱ - \cos x}$.
**۲. رفع ابهام (قانون تبدیل)**: $\frac{۰}{۰}$. از $\mathbf{۱ - \cos x = ۲\sin^۲(\frac{x}{۲})}$ استفاده میکنیم.
$$L = \lim_{x \to ۰} \frac{x^۲}{۱ - \cos x} = \lim_{x \to ۰} \frac{x^۲}{۲\sin^۲(\frac{x}{۲})} = \lim_{x \to ۰} \frac{۱}{۲} \left(\frac{x}{\sin(\frac{x}{۲})}\right)^۲$$
**۳. استفاده از حد مثلثاتی**: $\lim_{x \to ۰} \frac{\sin kx}{x} = k$. پس $\lim_{x \to ۰} \frac{x}{\sin(\frac{x}{۲})} = \frac{۱}{\frac{۱}{۲}} = ۲$.
$$L = \frac{۱}{۲} (۲)^۲ = \frac{۴}{۲} = \mathbf{۲}$$
---
### ت) $\lim_{x \to ۰} \frac{۲ - ۲\cos ۲x}{x \sin x}$
**۱. رفع ابهام (فاکتورگیری و قانون تبدیل)**: $\frac{۰}{۰}$.
$$L = \lim_{x \to ۰} \frac{۲(۱ - \cos ۲x)}{x \sin x} = \lim_{x \to ۰} \frac{۲(۲\sin^۲ x)}{x \sin x} = \lim_{x \to ۰} \frac{۴\sin^۲ x}{x \sin x}$$
**۲. سادهسازی و استفاده از حد مثلثاتی**:
$$L = \lim_{x \to ۰} \frac{۴\sin x}{x} = 4 \lim_{x \to ۰} \frac{\sin x}{x} = ۴ \times ۱ = \mathbf{۴}$$
---
### ث) $\lim_{x \to -\pi} \frac{\cos x + ۱}{x + \pi}$
**۱. رفع ابهام (تغییر متغیر)**: $\frac{۰}{۰}$. $\mathbf{t = x + \pi \implies x = t - \pi}$. وقتی $x \to -\pi$, $\mathbf{t \to ۰}$.
$$\cos x = \cos (t - \pi) = \cos (\pi - t) = -\cos t$$
$$L = \lim_{t \to ۰} \frac{-\cos t + ۱}{t} = \lim_{t \to ۰} \frac{۱ - \cos t}{t}$$
**۲. استفاده از حد مثلثاتی**: $\lim_{t \to ۰} \frac{۱ - \cos t}{t} = \mathbf{۰}$.
$$L = \mathbf{۰}$$
---
### ج) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a}$
**۱. رفع ابهام (قانون تبدیل جمع به ضرب)**: $\frac{۰}{۰}$. $\sin x - \sin a = ۲ \cos(\frac{x+a}{۲}) \sin(\frac{x-a}{۲})$.
$$L = \lim_{x \to a} \frac{۲ \cos(\frac{x+a}{۲}) \sin(\frac{x-a}{۲})}{x - a}$$
**۲. استفاده از حد مثلثاتی و سادهسازی**: $\mathbf{u = x - a}$. وقتی $x \to a$, $u \to ۰$.
$$L = \lim_{x \to a} \left[ \cos(\frac{x+a}{۲}) \cdot \frac{\sin(\frac{x-a}{۲})}{\frac{x-a}{۲}} \right]$$
$$\mathbf{L = \cos(\frac{a+a}{۲}) \times ۱ = \cos a}$$ (این تعریف مشتق $\sin x$ است.)
---
### چ) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۲}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{۲})}{۶x - ۳\pi}$
**۱. رفع ابهام (تغییر متغیر)**: $\frac{۰}{۰}$. $\mathbf{u = x - \frac{\pi}{۲}}$. وقتی $x \to \frac{\pi}{۲}$, $\mathbf{u \to ۰}$.
$$\lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{۶(u) + ۳\pi - ۳\pi} = \lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{۶u}$$
**۲. محاسبه حد مثلثاتی**:
$$L = \frac{۱}{۶} \lim_{u \to ۰} \frac{\sin u}{u} = \mathbf{\frac{۱}{۶}}$$
---
### ح) $\lim_{x \to ۱} \frac{۲x - \sqrt{۳x + ۱}}{x - ۱}$
**۱. رفع ابهام (همیوغ)**: $\frac{۰}{۰}$. صورت و مخرج را در $\mathbf{۲x + \sqrt{۳x + ۱}}$ ضرب میکنیم.
$$\text{صورت جدید}: (۲x)^۲ - (\sqrt{۳x + ۱})^۲ = ۴x^۲ - (۳x + ۱) = ۴x^۲ - ۳x - ۱$$
$$\lim_{x \to ۱} \frac{۴x^۲ - ۳x - ۱}{(x - ۱)(۲x + \sqrt{۳x + ۱})}$$
**۲. تجزیه صورت**: $۴x^۲ - ۳x - ۱ = (x - ۱)(۴x + ۱)$
$$L = \lim_{x \to ۱} \frac{(x - ۱)(۴x + ۱)}{(x - ۱)(۲x + \sqrt{۳x + ۱})} = \lim_{x \to ۱} \frac{۴x + ۱}{۲x + \sqrt{۳x + ۱}}$$
**۳. جایگذاری**:
$$L = \frac{۴(۱) + ۱}{۲(۱) + \sqrt{۳(۱) + ۱}} = \frac{۵}{۲ + \sqrt{۴}} = \frac{۵}{۴}$$
